Sistemas Numericos

Sistemas Numéricos

Autoria

Evandro Cantú / IFPR - Câmpus Foz do Iguaçu

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Sistema Decimal:

Base: 10

Digitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Exemplo: 5374₁₀ = 5 x 10³ + 3 x 10² + 7 x 10¹ + 4 x 10⁰

Sistema Binário:

Base: 2

Digitos: 0, 1

Exemplo: 1100₂ = 1 x 2³ + 1 x 2² + 0 x 2¹ + 0 x 2⁰ -> 8 + 4 + 0 + 0 = 12

Bits	Combinações	Binários
1	21 = 2	0 1
2	22 = 4	00 01 10 11
3	23 = 8	000 001 010 011 100 101 110 111

2⁴ = 16

2⁵ = 32

2⁶ = 64

2⁷ = 128

2⁸ = 256

2⁹ = 512

2¹⁰ = 1024 -> 1 Ki bit Prefixos Binários

2¹¹ = 2048 -> 2 Ki bit

2¹² = 4096 -> 4 Ki bit

...

2²⁰ = 1 048 576 -> 1024 Kibi bit -> 1 Mi bit

...

2³⁰ = 1 073 741 824 -> 1024 Mi bit -> Gi bit

...

Sistema Octal:

Base: 8

Digitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

Correspondência entre binário de 3 bits e octal

Decimal	Binário	Octal
0	000	0
1	001	1
2	010	2
3	011	3
4	100	4
5	101	5
6	110	6
7	111	7

Contagem em Octal

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17,
20, ... 27,
...
70, ... 77,
100, ... 107,
...

Sistema Hexadecimal:

Base: 16

Digitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

Correspondência entre binário de 4 bits e hexadecimal

Decimal	Binário	Hexadecimal
0	0000	0
1	0001	1
2	0010	2
3	0011	3
4	0100	4
5	0101	5
6	0110	6
7	0111	7
8	1000	8
9	1001	9
10	1010	A
11	1011	B
12	1100	C
13	1101	D
14	1110	E
15	1111	F

Contagem em Hexadecimal

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F,
10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 1A, 1B, 1C, 1D, 1E, 1F,
20, ... 2F,
30, ... 3F,
...
90, ... 9F,
A0, ... AF,
B0, ... BF,
...
F0, ... FF,
100, ..., 10F,
...

Conversão de Bases:

Binário -> Decimal

Para converter de binário para decimal, soma-se os pesos das posições em que o número binário tiver um bit 1.

Exemplos:

101101 = 1 x 2⁵ + 1 x 2³ + 1 x 2² + 1 x 2⁰ = 32 + 8 + 4 + 1 = 45

10100011 = 128 + 32 + 2 + 1 = 163

Decimal -> Binário

Uma das maneiras de converter um número decimal em binário e realizar divisões sucessivas por 2.

Exemplo:

25/2 = 12 + resto 1

12/2 = 6 + resto 0

6/2 = 3 + resto 0

3/2 = 1 + resto 1

1/2 = 0 + resto 1

-> 11001 (O bit mais significativo (MSB) é o último resto)

Outra maneira de converter um número decimal em binário é expressar o decimal como soma de potências de 2 (processo inverso a conversão de binário para decimal).

Binário <-> Hexadecimal

Cada digito hexa é convertido no equivalente binário de 4 bits (conforme tabela), e vice-versa, cada quatro bits binários é convertido no hexa equivalente.

Exemplos: Hexa -> Binário

A3 = 1010 0011

7E = 0111 1110

Exemplos: Binário -> Hexa

110110 = 0011 0110 = 36 (zeros são acrescentados a esquerda para formar grupos de 4 bits)

11000101 = 1100 0101 = C5

Resumo Sistema Binário

Exemplo de binário de 8 bits: 10111100₂ -> 188₁₀

Valores posicionais	128	64	32	16	8	4	2	1
Potências de 2	27	26	25	24	23	22	21	20
Exemplo binário	1	0	1	1	1	1	0	0
	MSB							LSB

MSB: Bit mais significativo (most significant bit)

LSB: Bit menos significativo (less significant bit)

Resumo sobre conversões de base:

• Quando converter binário em decimal, use o método da soma dos pesos de cada digito;
• Quando converter decimal em binário, use o método de divisões sucessivas por 2, reunindo os restos da divisão;
• Quando converter binário em hexa, agrupe os bits em grupo de quatro e converta cada grupo no hexa equivalente;
• Quando converter hexa em binário, converta cada digito em 4 bits equivalentes.

Exercícios:

1. Converter o binário 100011011011₂ em decimal;
2. Qual o peso do MSB (Bit mais significativo) de um número de 16 bits?
3. Qual a faixa total de valores decimais que podemos representar com 8 bits?
4. Quantos bits são necessários para representar valores decimais de 0 a 12.500?
5. Converter o decimal 729₁₀ em binário;
6. Converter o decimal 378₁₀ em um número binário de 16 bits e depois também em hexadecimal;
7. Converter o hexadecimal B2F₁₆ em um número binário e depois também em decimal;
8. Converter o decimal 423₁₀ em hexa;
9. Converter o decimal 214₁₀ em hexa.

Referências

TOCCI, R.J.; WIDMER, N.S.; MOSS, G.L. Sistemas Digitais: princípios e aplicações, São Paulo: Pearson, 2011.

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