Aritmetica Binaria

Aritmética Binária

Adição em binário

• 0 + 0 = 0
• 0 + 1 = 1
• 1 + 0 = 1
• 1 + 1 = 10 = 0 e vai 1 para próxima posição (Carry = 1)
• 1 + 1 + 1 = 11 = 1 e vai 1 para próxima posição (Carry = 1)

Exemplo:

  1   1    <- vai 1
   101010
 + 110011
 --------
  1011101

Subtração em binário

• 0 - 0 = 0
• 1 - 0 = 1
• 1 - 1 = 0
• 0 - 1 = 1 precisa emprestar 1 (10 - 1 = 1)

Exemplo:

    1      <- empresta 1
   110011
 - 101010
 --------
   001001

Exercícios:

1. Efetue a soma dos seguintes pares de números binários:
   • 10110 + 00111
   • 011101 + 010010
   • 10001111 + 00000001
2. Efetue a subtração dos seguintes pares de números binários:
   • 101101 - 010010
   • 10001011 - 00110101
   • 101011101 - 011100110

Multiplicação em binário

• 0 * 0 = 0
• 0 * 1 = 0
• 1 * 0 = 0
• 1 * 1 = 1

Exemplo (segue a lógica da multiplicação em decimal):

     1010 (multiplicando)
   x  101 (multiplicador)
   ------
     1010
    0000
 + 1010
 --------
   111010 (produto)

Número de dígitos do produto = Número de dígitos do multiplicando + Número de dígitos do multiplicador.

• Exemplo: 8 bits x 8 bits = 16 bits

Divisão em binário

Segue a lógica da divisão em decimal. É uma operação mais trabalhosa e de uso pouco frequente. Não vamos estudá-la agora.

Números positivos e negativos

Números sem sinal:

A representação de números sem sinal em um computador aproveita todos os bits do número para representar quantidades: de 0 até 2ⁿ - 1 (2ⁿ valores diferentes). Por exemplo, um número de 6 bits pode armazenar números binários de 000000 até 111111 (de 0 a 63 em decimal). Isto representa a magnitude do número.

Números positivos e negativos:

A representação dos números positivos e negativos em um computador também permite representar quantidades em função do número de bits do número, entretanto, precisam reservar um bit para a representação do sinal (+ ou -). Isto é feito em geral acrescentando ao número um outro bit, chamado bit de sinal.

Existem várias formas de representar um número negativo, as mais usadas são:

• Sinal e magnitude;
• Complemento de 1;
• Complemento de 2.

Sinal e magnitude

O bit mais a esquerda (MSB) representa o sinal: 0 indica número positivo e 1 indica número negativo. Os (N - 1) bits restantes representam a magnitude do número.

Quantidade simétrica: -(2^N-1 - 1) ≤ X ≤ 2^N-1 - 1

Exemplo:

N = 8, -127 ≤ X ≤ 127
001010102 = + 4210
101010102 = - 4210 (sinal e magnitude)

Embora a representação sinal/magnitude seja direta, os computadores e calculadoras não a utilizam porque a implementação dos circuitos é mais complexa que outras formas de representação.

A representação mais utilizada é o complemento de 2.

Complemento de 1

A representação de um número em complemento de 1 é o simétrico dele, com todos os bits complementados, incluindo o bit de sinal.

Complemento de 1: Troque 0 por 1 e vice-versa.

Quantidade simétrica: -(2^N-1 - 1) ≤ X ≤ 2^N-1 - 1

Exemplo:

N = 8, -127 ≤ X ≤ 127
001010102 = + 4210
110101012 = - 4210 (complemento de 1)

Complemento de 2

O complemento de 2 é determinado em dois passos:

1. Calcula-se o complemento de 1 do número;
2. Soma-se 1 ao complemento de 1.

• Despreza-se o transporte no bit mais significativo, caso exista.

Quantidade assimétrica: -2^N-1 ≤ X ≤ 2^N-1 - 1

O bit mais a esquerda (MSB) representa o sinal: 0 indica número positivo e 1 indica número negativo.

Exemplo:

N = 8, -128 ≤ X ≤ 127

Positivo:

001010102 = + 4210 (bit de sinal + binário verdadeiro)

Negativo:

Passo 1: calcula-se o complemento 1 do número
 00101010 (positivo)
 11010101 (complemento 1)
Passo 2: soma-se 1 ao complemento 1
 11010101
+       1
---------
 110101102 = - 4210 (bit de sinal + complemento de 2)