Sistemas Numericos

Sistemas Numéricos

Conceitos fundamentais

bit

É a menor unidade de informação manipulada pelo computador, podendo assumir dois valores, 0 ou 1.

O termo bit é a contração de binary digit.

Palavra binária

n bits formam uma palavra binária, a qual pode representar 2ⁿ valores diferentes.

Byte

É o termo clássico utilizado para uma palavra binária de 8 bits, o qual pode representar 2⁸ = 256 combinações diferentes.

Exemplo de binário de 8 bits:

1

0

1

1

1

1

0

0

Sistema Decimal:

Base: 10

Digitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Exemplo:

5374₁₀

= 5 x 10³ + 3 x 10² + 7 x 10¹ + 4 x 10⁰

= 5 x 1000 + 3 x 100 + 7 x 10 + 4 x 1

= 5374

5 3 7 4
| | | +-> Unidade (Peso    1)
| | +---> Dezena  (Peso   10)
| +-----> Centena (Peso  100)
+-------> Milhar  (Peso 1000)

Sistema Binário:

Base: 2

Digitos: 0, 1

Exemplo:

1100₂

= 1 x 2³ + 1 x 2² + 0 x 2¹ + 0 x 2⁰

= 8 + 4 + 0 + 0

= 12

1 1 0 0
| | | +-> (Peso 1)
| | +---> (Peso 2)
| +-----> (Peso 4)
+-------> (Peso 8)

Algumas combinações de números binários

Bits	Combinações	Binários
1	21 = 2	0 1
2	22 = 4	00 01 10 11
3	23 = 8	000 001 010 011 100 101 110 111
4	24 = 16	0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

Binários com maior número de bits

2⁵ = 32

2⁶ = 64

2⁷ = 128

2⁸ = 256

2⁹ = 512

2¹⁰ = 1024 -> 1 Ki bit

2¹¹ = 2048 -> 2 Ki bit

2¹² = 4096 -> 4 Ki bit

2¹³ = 8192 -> 8 Ki bit

...

2²⁰ = 1 048 576 -> 1024 Ki bit -> 1 Mi bit

2²¹ = 2 097 152 -> 2 Mi bit

...

2³⁰ = 1 073 741 824 -> 1024 Mi bit -> Gi bit

...

2⁴⁰ = 1024 Gi bit -> Ti bit

Prefixos do Sistema Internacional (SI) X Prefixos Binários

Resumo Sistema Binário

Exemplo de binário de 8 bits: 10111100₂ -> 188₁₀

Valores posicionais	128	64	32	16	8	4	2	1
Potências de 2	27	26	25	24	23	22	21	20
Exemplo binário	1	0	1	1	1	1	0	0
	MSB							LSB

MSB: Bit mais significativo (Most Significant Bit)

LSB: Bit menos significativo (Less Significant Bit)

Conversão de Bases

Referências: .

Binário -> Decimal

Para converter de binário para decimal, soma-se os pesos das posições em que o número binário tiver um bit 1.

Exemplos:

101101 = 1 x 2⁵ + 1 x 2³ + 1 x 2² + 1 x 2⁰ = 32 + 8 + 4 + 1 = 45

10100011 = 128 + 32 + 2 + 1 = 163

Decimal -> Binário

Uma das maneiras de converter um número decimal em binário e realizar divisões sucessivas por 2.

Exemplo:

25/2 = 12 + resto 1

12/2 = 6 + resto 0

6/2 = 3 + resto 0

3/2 = 1 + resto 1

1/2 = 0 + resto 1

-> 11001 (O bit mais significativo (MSB) é o último resto)

Simplificando o processo de representar a divisão por 2:
25 -> 1
12 -> 0
 6 -> 0
 3 -> 1
 1 -> 1
 0

Outra maneira de converter um número decimal em binário é expressar o decimal como soma de potências de 2 (processo inverso a conversão de binário para decimal), utilizando a tabela de pesos dos bits:

Valores posicionais	128	64	32	16	8	4	2	1
Exemplo binário	0	0	0	1	1	0	0	1

Exercícios:

1. Converter o binário 11000110₂ em decimal;
2. Converter o binário 100011011011₂ em decimal;
3. Qual o peso do MSB (Bit mais significativo) de um número de 12 bits?
4. Qual a faixa total de valores decimais que podemos representar com 8 bits?
5. Quantos bits são necessários para representar valores decimais de 0 a 12.500?
6. Converter o decimal 729₁₀ em binário;
7. Converter o decimal 378₁₀ em um número binário de 16 bits.

Sistema Octal:

Base: 8

Digitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

Exemplo:

173₈

= 1 x 8² + 7 x 8¹ + 3 x 8⁰

= 1 x 64 + 7 x 8 + 3 X 1

= 123₁₀

1 7 3
| | +-> (Peso  1)
| +---> (Peso  8)
+-----> (Peso 64)

Correspondência entre binário de 3 bits e octal

Decimal	Binário	Octal
0	000	0
1	001	1
2	010	2
3	011	3
4	100	4
5	101	5
6	110	6
7	111	7

Como cada octal tem correspondência com um binário de 3 bits, a representação em octal pode ser utilizada como uma forma contraída de representar um número binário.

Contagem em Octal

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17,
20, ... 27,
...
70, ... 77,
100, ... 107,
...

Sistema Hexadecimal:

Base: 16

Digitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

Exemplo:

1A4₁₆

= 1 x 16² + 10 x 16¹ + 4 x 16⁰

= 1 x 256 + 10 x 16 + 4 x 1

= 420₁₀

1 A 4
| | +-> (Peso   1)
| +---> (Peso  16)
+-----> (Peso 256)

Correspondência entre binário de 4 bits e hexadecimal

Decimal	Binário	Hexadecimal
0	0000	0
1	0001	1
2	0010	2
3	0011	3
4	0100	4
5	0101	5
6	0110	6
7	0111	7
8	1000	8
9	1001	9
10	1010	A
11	1011	B
12	1100	C
13	1101	D
14	1110	E
15	1111	F

Como cada hexadecimal tem correspondência com um binário de 4 bits, a representação em hexadecimal pode ser utilizada como uma forma contraída de representar um número binário.

Exemplo de representação do conteúdo de uma memória usando hexadecimal

Memória de 1K Bytes

Endereço	Byte (binário)	Byte (hexadecimal)
0	0110 1000	68
1	1010 0101	A5
2	0010 1111	2F
3	1011 1100	BC
4	0100 0000	40
...
1023	00000000	00

Contagem em Hexadecimal

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F,
10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 1A, 1B, 1C, 1D, 1E, 1F,
20, ... 2F,
30, ... 3F,
...
90, ... 9F,
A0, ... AF,
B0, ... BF,
...
F0, ... FF,
100, ..., 10F,
...

Conversão de Bases

Binário <-> Hexadecimal

Cada digito hexadecimal é convertido no equivalente binário de 4 bits (conforme tabela), e vice-versa, cada quatro bits binários é convertido no hexa equivalente.

Exemplos: Hexa -> Binário

A3 = 1010 0011

7E = 0111 1110

Exemplos: Binário -> Hexa

110110 = 0011 0110 = 36 (zeros são acrescentados a esquerda para formar grupos de 4 bits)

11000101 = 1100 0101 = C5

Binário <-> Octal

Cada digito octal é convertido no equivalente binário de 3 bits (conforme tabela), e vice-versa, cada quatro bits binários é convertido no hexa equivalente.

Exemplos: Octal -> Binário

73 = 111 011

45 = 100 101

Exemplos: Binário -> Octal

110110 = 66

1101 = 001 101 = 15 (zeros são acrescentados a esquerda para formar grupos de 3 bits)

Resumo sobre conversões de base:

• Quando converter binário em decimal, use o método da soma dos pesos de cada digito;
• Quando converter decimal em binário, use o método de divisões sucessivas por 2, reunindo os restos da divisão;
• Quando converter binário em hexadecinal, agrupe os bits em grupo de quatro e converta cada grupo no hexa equivalente;
• Quando converter hexadecimal em binário, converta cada digito em 4 bits equivalentes.
• Quando converter binário em octal, agrupe os bits em grupo de três e converta cada grupo no octal equivalente;
• Quando converter octal em binário, converta cada digito em 3 bits equivalentes.

Exercícios:

1. Converter o hexadecimal B2F₁₆ em um número binário e depois também em decimal e octal;
2. Converter o decimal 423₁₀ em hexadecimal e octal;
3. Converter o decimal 214₁₀ em hexadecimal e octal.
4. Um endereço IP é formado por 32 bits representado por quatro bytes em decimal. Portanto, converter o endereço IP 192.168.40.222 em um binário de 32 bits.
5. Converter a máscara de rede de um endereço IP 255.255.248.0 em um binário de 32 bits.
6. Um endereço físico de uma placa de rede é formado por 6 bytes hexadecimal. Portanto, converta o endereço físico 10:1f:74:40:ec:ee em binário. Responda quantos bits tem o endereço.
   • Visualize o endereçamento IP e MAC em uma máquina Linux com o comando ifconfig
   • Nos smartphones com sistema Android basta abrir o menu "configuração", "sobre o telefone", "estado".
7. Pesquise sobre o comando Linux chmod, usado para ajustar permissões de arquivos e diretórios, utilizando o formato octal:
   • Permissões de acesso a arquivos e diretórios

Referências

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--Evandro.cantu (discussão) 10h54min de 12 de junho de 2014 (BRT)

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