Aritmetica Binaria

Aritmética Binária

Adição em binário

• 0 + 0 = 0
• 0 + 1 = 1
• 1 + 0 = 1
• 1 + 1 = 10 = 0 e vai 1 para próxima posição (Carry = 1)
• 1 + 1 + 1 = 11 = 1 e vai 1 para próxima posição (Carry = 1)

Exemplo:

  1   1    <- vai 1
   101010
 + 110011
 --------
  1011101

Subtração em binário

• 0 - 0 = 0
• 1 - 0 = 1
• 1 - 1 = 0
• 0 - 1 = 1 precisa emprestar 1 (10 - 1 = 1)

Exemplo:

    1      <- empresta 1
   110011
 - 101010
 --------
   001001

Exercícios:

1. Efetue a soma dos seguintes pares de números binários:
   • 10110 + 00111
   • 011101 + 010010
   • 10001111 + 00000001
2. Efetue a subtração dos seguintes pares de números binários:
   • 101101 - 010010
   • 10001011 - 00110101
   • 101011101 - 011100110

Multiplicação em binário

• 0 * 0 = 0
• 0 * 1 = 0
• 1 * 0 = 0
• 1 * 1 = 1

Exemplo (segue a lógica da multiplicação em decimal):

     1010 (multiplicando)
   x  101 (multiplicador)
   ------
     1010
    0000  (produtos parciais)
 + 1010
 --------
   111010 (produto)

A maioria dos computadores digitais pode somar apenas dois números binários por vez. Por isto, os produtos parciais não podem ser somados ao mesmo tempo. Em vez disto, são somados dois de cada vez.

Número de dígitos do produto = Número de dígitos do multiplicando + Número de dígitos do multiplicador.

• Exemplo: 8 bits x 8 bits = 16 bits

Exercícios:

1. Efetue a multiplicação dos seguintes pares de números binários:
   • 1001 * 1011
   • 10110 * 00111
   • 011101 * 010010

Divisão em binário

Segue a lógica da divisão em decimal. É uma operação mais trabalhosa e de uso pouco frequente. Não vamos estudá-la agora.

Números positivos e negativos

Números sem sinal:

A representação de números sem sinal em um computador aproveita todos os bits do número para representar quantidades: de 0 até 2ⁿ - 1 (2ⁿ valores diferentes). Por exemplo, um número de 6 bits pode armazenar números binários de 000000 até 111111 (de 0 a 63 em decimal). Isto representa a magnitude do número.

Números positivos e negativos:

A representação dos números positivos e negativos em um computador também permite representar quantidades em função do número de bits do número, entretanto, precisam reservar um bit para a representação do sinal (+ ou -). Isto é feito em geral acrescentando ao número um outro bit, chamado bit de sinal.

Existem várias formas de representar um número negativo, as mais usadas são:

• Sinal e magnitude;
• Complemento de 1;
• Complemento de 2.

Sinal e magnitude

O bit mais a esquerda (MSB) representa o sinal: 0 indica número positivo e 1 indica número negativo. Os (N - 1) bits restantes representam a magnitude do número.

Quantidade simétrica: -(2^N-1 - 1) ≤ X ≤ 2^N-1 - 1

Exemplo:

N = 8, -127 ≤ X ≤ 127
001010102 = + 4210
101010102 = - 4210 (sinal e magnitude)

Embora a representação sinal/magnitude seja direta, os computadores e calculadoras não a utilizam porque a implementação dos circuitos é mais complexa que outras formas de representação.

A representação mais utilizada é o complemento de 2. Subtrair

Complemento de 1

A representação de um número em complemento de 1 é o simétrico dele, com todos os bits complementados, incluindo o bit de sinal.

Complemento de 1: Troque 0 por 1 e vice-versa.

Quantidade simétrica: -(2^N-1 - 1) ≤ X ≤ 2^N-1 - 1

Exemplo:

N = 8, -127 ≤ X ≤ 127
001010102 = + 4210
110101012 = - 4210 (complemento de 1)

Complemento de 2

O complemento de 2 é determinado em dois passos:

1. Calcula-se o complemento de 1 do número;
2. Soma-se 1 ao complemento de 1.
   • Despreza-se o transporte no bit mais significativo, caso exista.

Quantidade assimétrica: -2^N-1 ≤ X ≤ 2^N-1 - 1

O bit mais a esquerda (MSB) representa o sinal: 0 indica número positivo e 1 indica número negativo.

Exemplo:

N = 8, -128 ≤ X ≤ 127

Positivo:

001010102 = + 4210 (bit de sinal + binário verdadeiro)

Negativo:

Passo 1: calcula-se o complemento 1 do número
 00101010 (positivo)
 11010101 (complemento 1)
Passo 2: soma-se 1 ao complemento 1
 11010101
+       1
---------
 110101102 = - 4210 (bit de sinal + complemento de 2)

O complemento de 2 de um número negativo, será o seu simétrico positivo:

Exemplo:

 110101102 = - 4210 (negativo)
Passo 1: calcula-se o complemento 1 do número
 00101001 (complemento 1)
Passo 2: soma-se 1 ao complemento 1
 00101001
+       1
---------
 001010102 = 4210 (simétrico positivo)

Aritmética com complemento de 2

A subtração pode ser implementada como soma do complemento de 2.

Exemplo:

 Operação: + 410 - 310 (representados em binários de 4 bits)
 410 = 01002
 310 = 00112
-310 = 1100 + 1 = 11012 (complemento de 1 + 1 = complemento de 2)
 Realizando a soma do positivo com o negativo:
    0100
   +1101
   -----
 (1)0001 (bit de carry externo desprezado)